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《数值计算方法-二版-清华》

时间:2014-2-25 13:19:07 点击:

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本本书介绍了数值计算方法. 内容涉及数值计算方法的数学基础,数值计算方法在工程、科学和数学问题中的应用以及MATLAB程序,涵盖了经典数值分析的全部内容:包括非线性方程的数值解法;线性方程组的数值解法;矩阵特征值与特征向量的数值算法;插值方法;函数最佳逼近;数值积分;数值微分;常微分方程数值解法等. 基于MATLAB是本书的特色,对书中所有的数值方法都给出了MATLAB程序,有大量翔实的应用实例可供参考,有相当数量的习题可供练习.
本书可作为理工科本科生、研究生数值计算方法课程教材或参考书,也可作为科技人员使用数值计算方法和MATLAB的参考手册.

目录
第1 章绪论................................................................... 1

1.1 科学计算的一般过程..................................................... 1

1.1.1 对实际工程问题进行数学建模....................................... 1

1.1.2 对数学问题给出数值计算方法....................................... 1

1.1.3 对数值计算方法进行程序设计....................................... 2

1.1.4 上机计算并分析结果............................................... 2

1.2 数值计算方法的研究内容与特点........................................... 2

1.2.1 数值计算方法的研究内容........................................... 2

1.2.2 数值计算方法的特点............................................... 2

1.3 计算过程中的误差及其控制............................................... 5

1.3.1 误差的来源与分类................................................. 5

1.3.2 误差与有效数字................................................... 6

1.3.3 误差的传播....................................................... 8

1.3.4 误差的控制....................................................... 9

1.3.5 数值算法的稳定性................................................. 11

1.3.6 病态问题与条件数................................................. 11
习题1...................................................................... 12

第2 章非线性方程的数值解法................................................... 14

2.1 二分法................................................................. 14

2.1.1 二分法的基本思想................................................. 14

2.1.2 二分法及MATLAB程序............................................ 15

2.2 非线性方程求解的迭代法................................................. 18

2.2.1 迭代法的基本思想................................................. 18

2.2.2 不动点迭代法及收敛性............................................. 18

2.2.3 迭代过程的加速方法............................................... 24

2.2.4 Newton-Raphson 方法............................................... 32

2.2.5 割线法与抛物线法................................................. 42

2.3 非线性方程求解的MATLAB函数.......................................... 46

2.3.1 MATLAB 中求方程根的函数........................................ 46

2.3.2 用MATLAB中函数求方程的根...................................... 46
习题2...................................................................... 47

第3 章线性方程组的数值解法................................................... 50

3.1 向量与矩阵的范数....................................................... 50

3.1.1 向量的范数....................................................... 50

3.1.2 矩阵的范数....................................................... 53

3.1.3 方程组的性态条件数与摄动理论..................................... 56

3.2 直接法................................................................. 58

3.2.1 Gauss消去法及MATLAB程序...................................... 58

3.2.2 矩阵的三角(LU)分解法............................................. 70

3.2.3 矩阵的Doolittle分解法及MATLAB程序.............................. 74

3.2.4 矩阵的Crout分解法............................................... 79

3.2.5 对称正定矩阵的Cholesky分解及MATLAB程序....................... 80

3.2.6 解三对角方程组的追赶法及MATLAB程序............................ 86

3.3 迭代法................................................................. 88

3.3.1 迭代法的一般形式................................................. 88

3.3.2 Jacobi迭代法及MATLAB程序...................................... 89

3.3.3 Gauss-Seidel迭代法及MATLAB程序................................. 92

3.3.4 超松弛迭代法及MATLAB程序...................................... 96

3.3.5 共轭梯度法及MATLAB程序........................................ 99

3.4 迭代法的收敛性分析.....................................................104

3.4.1 迭代法的收敛性...................................................104

3.4.2 迭代法的收敛速度与误差分析.......................................105
习题3......................................................................107

第4 章矩阵特征值与特征向量的数值算法.........................................111

4.1 预备知识...............................................................112

4.1.1 Householder变换和Givens变换......................................112

4.1.2 Gershgorin 圆盘定理................................................114

4.1.3 QR 分解..........................................................115

4.2 乘幂法和反幂法.........................................................116

4.2.1 乘幂法及MATLAB程序............................................117

4.2.2 乘幂法的加速.....................................................122

4.2.3 反幂法及MATLAB程序............................................124

4.3Jacobi方法(对称矩阵). ...................................................125

4.3.1 Jacobi方法及MATLAB程序........................................125

4.3.2 Jacobi 方法的收敛性...............................................129

4.4 Householder 方法........................................................130

4.4.1 一般实矩阵约化为Hessenberg矩阵...................................130

4.4.2 实对称矩阵的三对角化.............................................133

4.4.3 求三对角矩阵特征值的二分法.......................................133

4.4.4 三对角矩阵特征向量的计算.........................................135

4.5 QR 方法................................................................135

4.5.1 基本的QR方法...................................................136

4.5.2 QR 方法的收敛性..................................................137

4.5.3 带原点位移的QR方法.............................................139

4.5.4 单步QR方法计算上Hessenberg矩阵特征值...........................140

4.5.5 双步QR方法.....................................................141

4.6 基于MATLAB的QR分解................................................141
习题4......................................................................142

第5 章插值方法...............................................................144

5.1 插值多项式及存在唯一性.................................................145

5.1.1 插值多项式的一般提法.............................................145

5.1.2 插值多项式存在唯一性.............................................145

5.2 Lagrange 插值...........................................................146

5.2.1 Lagrange 插值多项式...............................................146

5.2.2 线性插值与抛物线插值.............................................148

5.2.3 Lagrange插值的MATLAB程序......................................149

5.2.4 Lagrange 插值余项与误差估计.......................................150

5.3Aitken和Neville插值....................................................153

5.3.1 Aitken 逐步线性插值...............................................153

5.3.2 Neville 逐步线性插值...............................................153

5.4 差商与Newton插值......................................................154

5.4.1 差商及其性质.....................................................154

5.4.2 Newton 插值多项式................................................156

5.4.3 Newton 插值余项与误差估计........................................157

5.4.4 Newton插值的MATLAB程序.......................................158

5.5 差分与等距节点的Newton插值............................................159

5.5.1 差分及其性质.....................................................159

5.5.2 等距节点Newton插值多项式........................................161

5.5.3 等距节点Newton插值的MATLAB程序..............................162

5.6 Hermite 插值............................................................164

5.7 分段低次插值...........................................................166

5.7.1 高次插值的Runge现象及MATLAB程序..............................166

5.7.2 分段线性插值及MATLAB程序......................................167

5.7.3 分段三次Hermite插值及MATLAB程序..............................170

5.8 三次样条插值...........................................................172

5.8.1 三次样条函数.....................................................173

5.8.2 三转角插值函数(方程)及MATLAB程序..............................175

5.8.3 三弯矩插值函数(方程)及MATLAB程序..............................179

5.8.4 三次样条插值函数的收敛性.........................................182

5.9B-样条插值.............................................................183

5.9.1 m 次样条函数.....................................................183

5.9.2 B-样条函数.......................................................184

5.9.3 B-样条函数的性质.................................................185
习题5......................................................................186

第6 章函数最佳逼近...........................................................189

6.1 正交多项式.............................................................189

6.1.1 正交函数族.......................................................189

6.1.2 几个常用的正交多项式.............................................191

6.2 最佳一致逼近...........................................................197

6.2.1 一致逼近的概念...................................................197

6.2.2 最佳一致逼近多项式...............................................201

6.2.3 最佳一致逼近多项式的计算.........................................206

6.2.4 最佳一致逼近三角多项式...........................................208

6.3 最佳平方逼近...........................................................211

6.3.1 平方度量与平方逼近...............................................211

6.3.2 最佳平方逼近.....................................................212

6.4 正交多项式的逼近性质...................................................214

6.4.1 用正交多项式作最佳平方逼近.......................................215

6.4.2 用正交多项式作最佳一致逼近.......................................216

6.5 Fourier 级数的逼近性质...................................................218

6.5.1 最佳平方三角逼近.................................................219

6.5.2 最佳一致三角逼近.................................................219

6.5.3 快速Fourier变换..................................................223

6.6 有理函数逼近...........................................................227

6.6.1 连分式逼近.......................................................227

6.6.2 Pade逼近........................................................228

6.7 曲线拟合的最小二乘法及MATLAB程序....................................230

6.7.1 曲线拟合的最小二乘法.............................................230

6.7.2 曲线拟合最小二乘法的MATLAB程序................................231
习题6......................................................................232

第7 章数值积分...............................................................235

7.1 机械求积公式...........................................................235

7.1.1 数值积分的基本思想...............................................235

7.1.2 待定系数法.......................................................236

7.1.3 插值型求积公式...................................................237

7.1.4 求积公式的收敛性与稳定性.........................................239

7.2 Newton-Cotes 求积公式...................................................240

7.2.1 Newton-Cotes 求积公式的一般形式...................................240

7.2.2 两种低阶的Newton-Cotes求积公式..................................240

7.2.3 误差估计.........................................................241

7.2.4 Newton-Cotes求积公式MATLAB程序................................243

7.3 复合求积公式...........................................................244

7.3.1 复合梯形求积公式及MATLAB程序..................................244

7.3.2 复合Simpson求积公式及MATLAB程序..............................245

7.3.3 复合Cotes求积公式及MATLAB程序................................247

7.4 变步长求积公式.........................................................248

7.4.1 变步长梯形求积公式及MATLAB程序................................248

7.4.2 自适应Simpson求积公式及MATLAB程序............................250

7.5 Romberg 求积算法.......................................................252

7.5.1 Romberg 求积公式.................................................252

7.5.2 Romberg求积算法的MATLAB程序..................................254

7.6 Gauss 求积公式..........................................................256

7.6.1 Gauss 求积公式的构造..............................................257

7.6.2 5种Gauss型求积公式..............................................259

7.6.3 Gauss求积公式及MATLAB程序....................................264

7.7 MATLAB 中的数值积分函数..............................................267

7.7.1 MATLAB 数值积分函数............................................267

7.7.2 应用实例.........................................................268
习题7......................................................................269

第8 章数值微分...............................................................272

8.1 中点方法...............................................................272

8.1.1 微分中点数值算法.................................................272

8.1.2 微分中点数值算法误差分析.........................................273

8.2 利用插值方法求微分.....................................................273

8.2.1 插值型求导方法...................................................273

8.2.2 常用插值型求数值微分公式.........................................274

8.3 利用数值积分求微分.....................................................276

8.3.1 矩形积分方法.....................................................276

8.3.2 Simpson 积分方法.................................................276

8.4 利用三次样条求微分.....................................................277

8.5 外推法在数值微分中的应用...............................................278
习题8......................................................................279

第9 章常微分方程数值解法.....................................................280

9.1 数值解法的构造途径.....................................................280

9.1.1 数值解法的基本思想...............................................280

9.1.2 差商逼近法.......................................................281

9.1.3 数值积分法.......................................................282

9.1.4 Taylor 展开法.....................................................282

9.2 Euler 方法及其改进......................................................284

9.2.1 Euler方法及MATLAB程序.........................................284

9.2.2 改进的Euler方法及MATLAB程序..................................285

9.2.3 预估-校正方法....................................................292

9.2.4 公式的截断误差...................................................292

9.3 Runge-Kutta 方法........................................................293

9.3.1 Runge-Kutta 方法的基本思想........................................293

9.3.2 二阶Runge-Kutta方法..............................................294

9.3.3 三阶与四阶Runge-Kutta方法及MATLAB程序........................296

9.3.4 变步长的Runge-Kutta方法及MATLAB程序..........................299

9.4 单步法的相容性、收敛性与稳定性.........................................302

9.4.1 相容性...........................................................302

9.4.2 收敛性...........................................................303

9.4.3 稳定性...........................................................307

9.5 线性多步法.............................................................309

9.5.1 线性多步法的一般公式.............................................309

9.5.2 Adams公式及MATLAB程序........................................311

9.5.3 Milne方法与Simpson方法及MATLAB程序..........................315

9.5.4 Hamming方法及MATLAB程序.....................................317

9.5.5 预估校正方法.....................................................318

9.6 微分方程组与高阶微分方程数值解.........................................320

9.6.1 一阶微分方程组...................................................320

9.6.2 高阶微分方程及MATLAB程序......................................322

9.6.3 刚性方程.........................................................324

9.7 求微分方程数值解的MATLAB函数........................................326

9.7.1 MATLAB 中微分方程数值解函数....................................326

9.7.2 应用实例.........................................................326
习题9......................................................................327

部分习题答案...................................................................330

参考文献.......................................................................336

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