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matlab代做highspeedlogic★求解定积分

时间:2015-10-5 18:46:08 点击:

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一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为:
int(s):没有指定积分变量和积分阶数时,系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分;
int(s,v):以v为自变量,对被积函数或符号表达式s求不定积分;
int(s,v,a,b):求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数,也可以是一个符号表达式,还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时,函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时,函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时,函数返回一个符号函数。
例:
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数,对z积分下限是sqrt(x*y),积分上限是x^2*y;对y积分下限是sqrt(x),积分上限是x^2;对x的积分下限1,上限是2,求解如下:
>>syms  %定义符号变量
>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)  %注意定积分的书写格式
F2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)    %给出有理数解
>>VF2=vpa(F2)  %给出默认精度的数值解
VF2 =
224.92153573331143159790710032805

二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法,MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。
例:
求函数'exp(-x*x)的定积分,积分下限为0,积分上限为1。
>>fun=inline('exp(-x.*x)','x');  %用内联函数定义被积函数fname
>>Isim=quad(fun,0,1)  %辛普生法
Isim =
  0.746824180726425
IL=quadl(fun,0,1)   %牛顿-柯特斯法
IL =
0.746824133988447

三、梯形法求向量积分
trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式,数值方法)。
>>d=0.001;
>>x=0:d:1;
>>S=d*trapz(exp(-x.^2))
S= 
0.7468
或:
>>format long g
>>x=0:0.001:1;  %x向量,也可以是不等间距
>>y=exp(-x.^2);   %y向量,也可以不是由已知函数生成的向量
>>S=trapz(x,y);   %求向量积分
=
    0.746824071499185

作者:highspeedlogic 来源:highspeedlogic
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